Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có đáy \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ: \(V = Sh\).

Giải chi tiết:

\(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C,\,\,AC = a\sqrt 2  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = AC = a\sqrt 2 \\AB = AC\sqrt 2  = 2a\end{array} \right.\)

Đặt \(AA' = BB' = CC' = h\).

Tam giác \(AC{C_1}\) vuông tại C \( \Rightarrow A{C_1} = \sqrt {2{a^2} + {h^2}} \)

Tam giác \(BC{C_1}\) vuông tại C \( \Rightarrow B{C_1} = \sqrt {2{a^2} + {h^2}} \)

Chu vi tam giác\(AB{C_1}\): \(\sqrt {2{a^2} + {h^2}}  + \sqrt {2{a^2} + {h^2}}  + 2a = 5a\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {2{a^2} + {h^2}}  = 3a \Leftrightarrow 2{a^2} + {h^2} = \dfrac{9}{4}{a^2} \Leftrightarrow {h^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow h = \dfrac{a}{2}\)

Thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) là: \(V = {S_{ABC}}.h = \dfrac{1}{2}.{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Chọn: A