Cho tứ diện OABC có

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) nên $OH\perp \left(ABC\right)\Rightarrow OH\perp BC\left(1\right)$.

Mặt khác $OA\perp OB,OA\perp OC\Rightarrow OA\perp \left(OBC\right)\Rightarrow OA\perp BC\left(2\right)$.

Từ (1),(2) suy ra $BC\perp \left(AOH\right)\Rightarrow BC\perp AH$. Chứng minh tương tự ta được$AB\perp CH$. Suy ra H là trực tâm của ΔABC.

Trong mặt phẳng (ABC) gọi E là giao điểm của AH và BC.

Ta có $OH\perp \left(ABC\right)\Rightarrow OH\perp AE$ tại H.

$OA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow OA\perp OE$ tức là OH là đường cao của tam giác vuông OAE.

Mặt khác OE là đường cao của tam giác vuông OBC.

Do đó: $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{E}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$.

$\iff \frac{1}{d^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow d=\frac{abc}{\sqrt{b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{b}^2}}$.