Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newto...

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $P\left(x\right)={\left(1+2x\right)}^{12}=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{1}^{12-k}=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{2}^k{x}^k$.

Gọi $a_k=C_{12}^K{2}^K,\left(0\le k\le 12,k\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$ là hệ số lớn nhất trong khai triển.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{a}_k\ge a_{k+1}\\ a_k\ge a_{k-1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{c}_{12}^k{2}^k\ge c_{12}^{k+1}{2}^{k+1}\\ c_{12}^k{2}^k\ge c_{12}^{k-1}{2}^{k-1}\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{12!}{\left(12-k\right)!k!}.2^k\ge \frac{12!}{\left(11-k\right)!\left(k+1\right)!}.2^{k+1}\\ \frac{12!}{\left(12-k\right)!k!}.2^k\ge \frac{12!}{\left(13-k\right)!\left(k+1\right)!}.2^{k-1}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{12-k}\ge \frac{2}{k+1}\\ \frac{1}{k}\ge \frac{1}{2\left(13-k\right)}\end{array}\right.$

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển đã cho là $a_8=2^8{c}_{12}^8=126720$.