Cho hình chóp 

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Theo dữ kiện đề bài cho, dễ dàng chứng minh được ΔACD vuông tại cân C và $AC=\frac{AD}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right) \\ \Rightarrow \left(SAC\right)\perp \left(SCD\right) \end{gathered}$$

Mà $\left(SAC\right)\cap \left(SCD\right)=SC$, từ A kẻ $AH\perp SC$. Khi đó $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=AH$.

Tam giác SAC vuông tại

 A:$$\begin{gathered} \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{3}{2a^2} \\ \Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Mặt khác: $AD\cap \left(SCD\right)=D$ và M là trung điểm AD nên:

$$\begin{gathered} \frac{d\left(M;\left(SCD\right)\right)}{d\left(A;\left(SCD\right)\right)}=\frac{MD}{AD}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A;\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{6} \end{gathered}$$