Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (0; 1; 1), B (3; 0; - 1), C (0; 21; - 19)$ và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{1} = 1. M (a, b, c)$ là điểm thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho biểu thức $T = 3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a + b + c .$

A. $a + b + c = \frac{14}{5}$

B. $a + b + c = 0$

C. $a + b + c = \frac{12}{5}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1). Gọi E là điểm thoả $3 \vec{E A} + 2 \vec{E B} + \vec{E C} = \vec{0} \Rightarrow E (1; 4; - 3)$ . $T = 6 M E^{2} + 3 E A^{2} + 2 E B^{2} + E C^{2}$

T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu (S).

$\vec{I E} = (0; 3; - 4)$ , $\vec{E M} = (a - 1; b - 4; c + 3)$

$\vec{I E}, \vec{M E}$ cùng phương $\Leftrightarrow \vec{E M} = k \vec{I E} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 1 = 0 \\ b - 4 = 3 k \\ c + 3 = - 4 k \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 k + 4 \\ c = - 4 k - 3 \end{cases}$

$M \in (S) \Rightarrow {(3 k + 3)}^{2} + {(- 4 k - 4)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = - \frac{4}{5} \\ k = - \frac{6}{5} \end{array}$

$k = - \frac{4}{5} \Rightarrow M_{1} (1; \frac{8}{5}; \frac{1}{5}) \Rightarrow E M_{1} = \frac{\sqrt{208}}{5}$

$k = - \frac{6}{5} \Rightarrow M_{2} (1; \frac{2}{5}; \frac{9}{5}) \Rightarrow E M_{2} = 6 > E M_{1}$ (Loại)

Vậy $M (1; \frac{8}{5}; \frac{1}{5})$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải !!

↑

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A0;1;1,B3;0;−1,C0;21;−19 và mặt cầu S:x−12+y−12+z−11=1. Ma,b,c là điểm thuộc mặt cầu Ssao cho biểu thức T=3MA2+2MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a+b+c.