Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đây là dãy số có tính chất tuần hoàn, xác định tính chất tuần hoàn đó và suy ra đáp án.

Giải chi tiết:

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

\(\eqalign{  & {a_1} = 1  \cr   & {a_2} =  - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2  \cr   & {a_3} =  - {3 \over 2}.4 + {5 \over 2}.2 + 1 = 0  \cr   & {a_4} =  - {3 \over 2}.0 + {5 \over 2}.0 + 1 = 1  \cr   & {a_5} =  - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2  \cr   & {a_6} =  - {3 \over 2}.4 + {5 \over 2}.2 + 1 = 0 \cr} \)

Ta thấy cứ sau 3 số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\)

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với n = 1, \({a_1} = {a_4} = 1\).

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là \({a_{k + 3}} = {a_k}\), ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh \({a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\)

Ta có :

\(\eqalign{  & {a_{k + 4}} =  - {3 \over 2}a_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{a_{k + 3}} + 1  \cr   & {a_{k + 1}} =  - {3 \over 2}a_k^2 + {5 \over 2}{a_k} + 1 \cr} \)

Mà \({a_{k + 3}} = {a_k} \Rightarrow {a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\), vậy \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\).

Ta lại có 2018 = 3.672 + 2. Từ đó suy ra \({a_{2018}} = {a_2}\).

Chọn A.