Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC =...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đưa về cùng mặt phẳng.

- Sử dụng các yếu tố song song để xác định hình dạng của thiết diện.

- Điều kiện để thiết diện trở thành hình thoi.

- Công thức tính diện tích hình thoi \(S = {1 \over 2}{d_1}{d_2},\) trong đó \({d_1},{d_2}\) là độ dài hai đường chéo của hình thoi.

Giải chi tiết:

Giả sử \(\left( \alpha  \right)\) cắt các cạnh AD, AC, CB, BD theo thứ tự tại M, N, P, Q.

\(\left\{ \matrix{  CD//\left( \alpha  \right),CD \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr   M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN//CD\,\,\left( {N \in AC} \right)\)

Tương tự \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ//CD\,\,\left( {Q \in BD} \right).\)

Khi đó: \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ//AB,\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP//AB.\)

Hình bình hành MNPQ là thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha  \right)\).

Theo định lí Ta-let ta có:

\({{NP} \over {AB}} = {{CN} \over {CA}} \Rightarrow NP = {a \over c}CN,\,\,{{MN} \over {CD}} = {{AN} \over {AC}} \Rightarrow MN = {a \over b}AN.\)

Để MNPQ là hình thoi thì MN = NP\( \Rightarrow \) CN = AN hay N là trung điểm của AC. Từ đó suy ra M, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD.

Ta có:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  D{N^2} = {{A{D^2} + D{C^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr   B{N^2} = {{A{B^2} + B{C^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Rightarrow DN = BN \cr} \)

\( \Rightarrow \Delta NBD\) cân tại N. Lại có Q là trung điểm của BD nên \(NQ \bot BD.\)

Do đó ta có: \(N{Q^2} = N{B^2} - B{Q^2} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over 2}\).

Tương tự ta tính được \(M{P^2} = {{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over 2}.\)

Vậy \({S_{MNPQ}} = {1 \over 2}MP.NQ = {1 \over 2}\sqrt {{{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over 2}.{{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over 2}}  = {1 \over 4}\sqrt {\left( {{b^2} + {a^2} - {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)} \).

Chọn D.