Cho \(\Delta ABC\) đều, gọi D là...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác.

Giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm hai đường trung trực của AB và DE \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & OA=OB \\  & OD=OE \\ \end{align} \right.\) (tính chất điểm thuộc đường trung trực của 1 đoạn thẳng)

Mà AE = BD (gt) nên suy ra \(\Delta OAE=\Delta OBD\left( c-c-c \right)\Rightarrow \widehat{OEA}=\widehat{ODB}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\left\{ \begin{align} & \widehat{OEA}+\widehat{OEC}={{180}^{0}} \\  & \widehat{ODB}+\widehat{ODA}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{ODA}\)

Vì \(\left\{ \begin{align}  & BD+DA=BA \\  & AE+EC=AC \\  & BD=AE\left( gt \right) \\  & BA=AC\left( gt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow AD=EC\)

Xét \(\Delta OAD\) và \(\Delta OCE\) ta có:

\(\left\{ \begin{align} & AD=EC \\  & \widehat{OEC}=\widehat{ODA} \\ & OD=OE \\ \end{align} \right.\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta OAD=\Delta OCE\left( c-g-c \right)\Rightarrow OA=OC\)(2 cạnh tương ứng)

Mặt khác, \(OA=OB\left( cmt \right)\Rightarrow OA=OB=OC\). Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Vậy khi D và E thay đổi trên các cạnh AB và AC thì đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).