Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho \(d:x=y+...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy \(M\in d\) Tính biểu thức MA+MB Biến về bài toán Min, Max

Giải chi tiết:

Phương trình tham số của \(d:x=y+1=z-1\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

Lấy \(M\in d\Rightarrow M\left( t;-1+t;1+t \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {t - 2; - 2 + t;t + 1} \right) \Rightarrow MA = \sqrt {2{{\left( {t - 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {3{t^2} - 6t + 9}  = \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} - 2t + 3} \\\overrightarrow {BM}  = \left( {t + 4;t + 4;t - 2} \right) \Rightarrow MB = \sqrt {2{{\left( {t + 4} \right)}^2} + {{(t - 2)}^2}}  = \sqrt {3{t^2} + 12t + 36}  = \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} + 4t + 12} \\ \Rightarrow \left| {MA + MB} \right| = \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} - 2t + 3}  + \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} + 4t + 12}  = \sqrt 3 .\left( {\sqrt {{t^2} - 2t + 3}  + \sqrt {{t^2} + 4t + 12} } \right)\end{array}\)

Xét hàm \(f\left( t \right)=\sqrt{{{t}^{2}}-2t+3}+\sqrt{{{t}^{2}}+4t+12},t\in R\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \frac{{t - 1}}{{\sqrt {{t^2} - 2t + 3} }} + \frac{{t + 2}}{{\sqrt {{t^2} + 4t + 12} }}\\f''\left( t \right) = \frac{2}{{\sqrt {{t^2} - 2t + 3} \left( {{t^2} - 2t + 3} \right)}} + \frac{8}{{\left( {{t^2} + 4t + 12} \right)\sqrt {{t^2} + 4t + 12} }} > 0,\forall x\end{array}\)

Do đó \(f'\left( t \right)\) đồng biến trên \(R\).

Mà \(t=0\) là một nghiệm của \(f'\left( t \right)=0\) nên phương trình \(f'\left( t \right)=0\) có nghiệm duy nhất \(t=0\)

Bảng biến thiên:

 \(\Rightarrow \left| MA+MB \right|\ge \sqrt{3}\left( \sqrt{3}+\sqrt{12} \right)=9\).

Dấu “=” xảy ra khi \(t=0\Rightarrow M\left( 0;-1;1 \right)\) 

Chọn D