Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh \(\widehat {MAN} = {45^0}\), tính \(MH = d\left( {M;AN} \right)\)

+) Tính AM.

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(A\left( {a;2a - 3} \right)\) và sử dụng công thức \(A{M^2} = {\left( {{x_M} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - {y_A}} \right)^2}\)

Giải chi tiết:

Giả sử ABCD là hình vuông cạnh a.

Ta có: \(AN = \sqrt {A{D^2} + D{N^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{9}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{3}\)

\(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},\,\,MN = \sqrt {M{C^2} + N{C^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{4{a^2}}}{9}}  = \frac{{5a}}{6}\)

Xét tam giác AMN có \(\cos \widehat {MAN} = \frac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2AM.AN}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{10{a^2}}}{9} - \frac{{25{a^2}}}{{36}}}}{{2\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\frac{{a\sqrt {10} }}{3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MAN} = {45^0}\)

Kẻ \(MH \bot AN \Rightarrow MH = d\left( {M;AN} \right) = \frac{{\left| {2.\frac{{11}}{2} - \frac{1}{2} - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + 1} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow AM = HM\sqrt 2  = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}\)

Gọi

\(\begin{array}{l}A\left( {a;2a - 3} \right) \Rightarrow A{M^2} = {\left( {\frac{{11}}{2} - a} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2} - 2a + 3} \right)^2} = \frac{{90}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{121}}{4} - 11a + {a^2} + 4{a^2} - 14a + \frac{{49}}{4} = \frac{{90}}{4}\\\Leftrightarrow 5{a^2} - 25a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {4;5} \right)\\A\left( {1; - 1} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.