Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m+1 \rig...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) có hai nghiệm phân biệt\({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.\).

+) Sử dụng hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) để biến đổi biểu thức đã cho và đánh giá.

Giải chi tiết:

PT \({{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\,\,\,\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\) \(\Leftrightarrow \Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\)

\(\Leftrightarrow 4m+5>0\Leftrightarrow m>-\frac{5}{4}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\) .

Theo Vi - et ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 6{x_1}{x_2} = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 6\left( {{m^2} - 1} \right) = 10{m^2} + 4m - 5\\ = 10\left( {{m^2} + \frac{2}{5}m + \frac{1}{{25}}} \right) - \frac{{27}}{5} = 10{\left( {m + \frac{1}{5}} \right)^2} - \frac{{27}}{5}\\ \Rightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2} \ge  - \frac{{27}}{5}\end{array}\)   

Dấu “=” xảy ra khi \(m=-\frac{1}{5}\)( thỏa mãn (*) ) .

Vậy \(\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(m=-\frac{1}{5}\).

Chọn C.