Cho \(a,b\) thỏa mãn điều kiện \(a + b \ge 2\). Kh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hiệu và biến đổi tương đương.

Giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{  & {a^4} + {b^4} - {a^3} - {b^3}  \cr   &  = {a^3}\left( {a - 1} \right) + {b^3}\left( {b - 1} \right)  \cr   &  = \left( {{a^3} - 1} \right)\left( {a - 1} \right) + \left( {{b^3} - 1} \right)(b - 1) + a - 1 + b - 1  \cr   &  = {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) + {\left( {b - 1} \right)^2}\left( {{b^2} + b + 1} \right) + \left( {a + b - 2} \right) \cr} \)

Vì:

\(\eqalign{  & {\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0;\,\,{a^2} + a + 1 = {\left( {a + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} > 0  \cr   & {\left( {b - 1} \right)^2} \ge 0;\,\,{b^2} + b + 1 = {\left( {b + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} > 0  \cr   & a + b - 2 \ge 0 \cr} \)

Nên ta có \({\left( {a - 1} \right)^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) + {\left( {b - 1} \right)^2}\left( {{b^2} + b + 1} \right) + \left( {a + b - 2} \right) \ge 0\). Suy ra \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{  a - 1 = 0 \hfill \cr   b - 1 = 0 \hfill \cr   a + b = 2 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow a = b = 1\).

Chọn A.