Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{|x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phá dấu giá trị tuyệt đối.

\(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\,\\ - x + 2\,\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\\\left| {4 - x} \right| = \left\{ \begin{array}{l}4 - x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 4\,\\ - 4 + x\,\,\,khi\,\,x > 4\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó, ta xét 3 trường hợp

TH1: \(x>4\)TH2: \(2\le x\le 4\)TH3: \(x<2\)

Giải chi tiết:

Ta xét 3 trường hợp

TH1: \(x>4\)

\(\begin{array}{l}\frac{{|x - 2| + 7}}{{|4 - x| + x + 1}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x - 2 + 7}}{{x - 4 + x + 1}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x + 5 - 2\left( {2x - 3} \right)}}{{2x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3x + 11}}{{2x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{3}{2}\\x > \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

So sánh với điều kiện \(x>4\) ta có \(x>4\) là nghiệm bất phương trình.  

TH2: \(2\le x\le 4\)

\(\frac{|x-2|+7}{|4-x|+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{x-2+7}{4-x+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{x+5}{5}<2\Leftrightarrow x+5<10\Leftrightarrow x<5\)

So sánh với điều kiện \(2\le x\le 4\) ta có \(2\le x\le 4\)là nghiệm bất phương trình.

TH3: \(x<2\)

\(\frac{|x-2|+7}{|4-x|+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{2-x+7}{4-x+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{-x+9}{5}<2\Leftrightarrow -x+9<10\Leftrightarrow x>-1\)

So sánh với điều kiện \(x<2\) ta có \(-1<x<2\) là nghiệm bất phương trình.

Kết hợp 3 trường hợp ta có nghiệm của bất phương trình là \(S=\left( -1;+\infty  \right)\)

Chọn D.