Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{|x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phá dấu giá trị tuyệt đối.

$\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\,\\ - x + 2\,\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\\\left| {4 - x} \right| = \left\{ \begin{array}{l}4 - x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 4\,\\ - 4 + x\,\,\,khi\,\,x > 4\end{array} \right.\end{array}$

Do đó, ta xét 3 trường hợp

TH1: $x>4$TH2: $2\le x\le 4$TH3: $x<2$

Giải chi tiết:

Ta xét 3 trường hợp

TH1: $x>4$

$\begin{array}{l}\frac{{|x - 2| + 7}}{{|4 - x| + x + 1}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x - 2 + 7}}{{x - 4 + x + 1}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x + 5 - 2\left( {2x - 3} \right)}}{{2x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3x + 11}}{{2x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{3}{2}\\x > \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\end{array}$

So sánh với điều kiện $x>4$ ta có $x>4$ là nghiệm bất phương trình.  

TH2: $2\le x\le 4$

$\frac{|x-2|+7}{|4-x|+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{x-2+7}{4-x+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{x+5}{5}<2\Leftrightarrow x+5<10\Leftrightarrow x<5$

So sánh với điều kiện $2\le x\le 4$ ta có $2\le x\le 4$là nghiệm bất phương trình.

TH3: $x<2$

$\frac{|x-2|+7}{|4-x|+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{2-x+7}{4-x+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{-x+9}{5}<2\Leftrightarrow -x+9<10\Leftrightarrow x>-1$

So sánh với điều kiện $x<2$ ta có $-1<x<2$ là nghiệm bất phương trình.

Kết hợp 3 trường hợp ta có nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -1;+\infty  \right)$

Chọn D.