Tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {{{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\)

Giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {{{\sin 2x} \over {{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx}  = 2\int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {{{\sin x\cos x} \over {{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx} \)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = {\pi  \over 6} \Rightarrow t = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow I = 2\int\limits_0^{{1 \over 2}} {{{tdt} \over {{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}}  = 2\int\limits_0^{{1 \over 2}} {{{t + 2 - 2} \over {{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}dt = 2\int\limits_0^{{1 \over 2}} {\left( {{1 \over {t + 2}} - {2 \over {{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}} \right)dt} }   \cr   &  = 2\left. {\left( {\ln \left( {t + 2} \right) + {2 \over {t + 2}}} \right)} \right|_0^{{1 \over 2}} = 2\left( {\ln {5 \over 2} + {4 \over 5} - \ln 2 - 1} \right) = 2\left( {\ln {5 \over 4} - {1 \over 5}} \right) =  - {2 \over 5} + 2\ln {5 \over 4}  \cr   &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  a =  - 2 \hfill \cr   b = 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow T = a + b = 0 \cr} \)

Chọn C.