Cho hai điểm \(M\left( {1;0;4} \right);\,\,N\left(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;1} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và nhận \(\overrightarrow n \) là 1 VTPT.

\(N \in \left( P \right)\) và \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) với \(I;R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\).

Giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;1} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó \(\left( P \right)\) có phương trình

\(a\left( {x - 1} \right) + by + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + z - a - 4 = 0\).

\(N \in \left( P \right) \Rightarrow a + b + 2 - a - 4 = 0 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow \left( P \right):\,\,ax + 2y + z - a - 4 = 0\).

\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1;0} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

\(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {a - 2 - a - 4} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 4 + 1} }} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 5}  = 3 \Leftrightarrow a =  \pm 2\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(2x + 2y + z - 6 = 0\) hoặc \(2x - 2y - z + 2 = 0\).

Chọn C.