Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Sử dụng tính chất hai góc nhọn trong tam giác vuông thì phụ nhau.

2. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

3. Chứng minh các tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết:

1. \(\Delta AMB\) có \(\widehat{AMB}={{90}^{0}};\,\,AM=MB\Rightarrow \Delta AMB\) vuông cân tại M \(\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MBA}={{45}^{0}}\)

BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) \(\Rightarrow BC\bot AB\Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B.

\(\widehat{ACB}+\widehat{CAB}={{90}^{0}}\) (Hai góc nhọn phụ nhau) \(\Rightarrow \widehat{ACB}={{45}^{0}}\).

2. Ta có \(\widehat{ANM}=\widehat{MBA}={{45}^{0}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

\(\Rightarrow \widehat{DNM}={{180}^{0}}-{{45}^{0}}={{135}^{0}}\) (hai góc kề bù)

Xét tứ giác MNDC có \(\widehat{MCD}+\widehat{MND}={{45}^{0}}+{{135}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

3. Xét tam giác AMB và ABC có:

\(\widehat{BAC}\) chung; \(\widehat{AMB}=\widehat{ABC}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta AMB\backsim \Delta ABC\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AM.AC=A{{B}^{2}}=4{{R}^{2}}\)

Xét tam giác ANB và ABD có:

\(\widehat{BAD}\)( chung; \(\widehat{ANB}=\widehat{ABD}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta ANB\backsim \Delta ABD\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AN}{AB}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AN.AD=A{{B}^{2}}=4{{R}^{2}}\)

\(\Rightarrow AM.AC=AN.AD=4{{R}^{2}}\)

Chọn B.