1)  Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}&...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt điều kiện sau đó giải hệ phương trình.

+) Bình phương hai vế phương trình (1), biến đổi phương trình (2) sau đó trừ vế với vế của hai phương trình, biến đổi về phương trình tích.

+) Chứng minh biểu thức bằng phép biến đổi tương đương.

Giải chi tiết:

1)                  Điều kiện: \(x+3y\ge 0.\)

Để hệ phương trình có nghiệm thì \(x+y\ge 0.\)

Hệ tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{(x + y)^2} = x + 3y\\
{(x + y)^2} = 3 + xy
\end{array} \right. \Rightarrow x + 3y = 3 + xy\\
\Leftrightarrow x - xy + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
{x^2} + {y^2} + xy = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
{x^2} + {y^2} + xy = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
{y^2} + 3y + 6 = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
{x^2} + x - 2 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
VN\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \(x=y=1\) ta có: \(x+y=1+1>0\Rightarrow x=y=1\) là nghiệm của hệ phương trình.

+) Với \(x=-2,\ \ y=1\) ta có: \(x+y=1-2=-1<0\Rightarrow x=-1,\ y=1\) không là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right).\)

2)                  Vì \(ab+a+b=1\)  nên \(\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+1={{a}^{2}}+ab+a+b=\left( a+b \right)\left( a+1 \right) \\ & {{b}^{2}}+1={{b}^{2}}+ab+a+b=\left( a+b \right)\left( b+1 \right) \\ \end{align} \right..\)

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\begin{align} & \frac{a}{(a+b)(a+1)}+\frac{b}{(a+b)(b+1)}=\frac{1+ab}{\sqrt{2{{(a+b)}^{2}}(a+1)(b+1)}} \\& \Leftrightarrow \frac{a(b+1)+b(a+1)}{(a+b)(a+1)(b+1)}=\frac{1+ab}{(a+b)\sqrt{2(a+1)(b+1)}} \\& \Leftrightarrow (a+1)(b+1)=\sqrt{2(a+1)(b+1)} \\& \Leftrightarrow \sqrt{(a+1)(b+1)}=\sqrt{2} \\& \Leftrightarrow (a+1)(b+1)=2 \\& \Leftrightarrow ab+a+b+1=2 \\& \Leftrightarrow ab+a+b=1. \\\end{align}\)

Điều này là hoàn toàn đúng theo giả thiết.

Chọn A