Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương:...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Với mọi số k đặt: \({b_i} = {a_i} + k \Rightarrow {a_i} - {a_j} = \left( {{a_i} + k} \right) - \left( {{a_j} + k} \right) = {b_i} - {b_j}.\)

Do đó ta có thể chọn số k sao cho: \({b_{n + 2}} = 3n\) và chuyển về xét dãy số: \(1 \le {b_1} < {b_2} < ..... < {b_{n + 2}} = 3n.\) Khi đó chỉ cần chứng minh tồn tại 2 số: \({b_i},{b_j}(1 \le j,i \le n + 2;\,j,i \in N):n < {b_i} - {b_j} < 2n.\)

Xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu tồn tại j thuộc { 1, 2,…, n + 1} sao cho: \(n < {b_j} < 2n \to n < {b_{n + 2}} - {b_j} < 2n.\)

TH2: Với mọi j thuộc { 1, 2,…., n + 1} ta có: \({b_j}\) không thuộc: [n + 1; 2n – 1] thì các số: \({b_1},{b_2},.....,{b_{n + 1}} \in {\rm{\{ }}1,2,....,3n - 1\} \backslash {\rm{\{ }}n + 1,....,2n - 1\} .\) và các số thuộc tập này chia làm n cặp số: \((1;2n);(2;2n + 1);.....(n;3n - 1).\) Do đó trong n + 1 số \({b_1},{b_2},....,{b_{n + 1}}.\) tồn tại 2 số \({b_i},{b_j}\) thuộc cùng 1 cặp., chẳng hạn (t; 2n + t – 1) hay \(n < {b_i} - {b_j} = 2n + t - 1 - t = 2n - 1 < 2n.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.