Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết:

Thay a + b + c = 2018 vào mỗi phân thức ta được

\(\begin{array}{l}
\frac{a}{{a + \sqrt {2018a + bc} }} + \frac{b}{{b + \sqrt {2018b + ac} }} + \frac{c}{{c + \sqrt {2018a + ab} }}\\
= \frac{a}{{a + \sqrt {(a + b + c)a + bc} }} + \frac{b}{{b + \sqrt {(a + b + c)b + ac} }} + \frac{c}{{c + \sqrt {(a + b + c)c + ab} }}\\
= \frac{a}{{a + \sqrt {ab + ({a^2} + bc) + ac} }} + \frac{b}{{b + \sqrt {ab + ({b^2} + ac) + bc} }} + \frac{c}{{c + \sqrt {ac + ({c^2} + ba) + bc} }}
\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

\(ab+({{a}^{2}}+bc)+ac\ge ab+2a\sqrt{bc}+ac=ab+2\sqrt{abac}+ac={{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})}^{2}}\)

Tương tự  ta được : \(\left\{ \begin{align}  & ab+\left( {{b}^{2}}+ac \right)+bc\ge {{\left( \sqrt{ab}+\sqrt{bc} \right)}^{2}} \\  & ac+\left( {{c}^{2}}+ba \right)+bc\ge {{\left( \sqrt{ac}+\sqrt{bc} \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức ta được :

\(VT\ge \sum \frac{a}{a+\sqrt{{{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})}^{2}}}}=\sum \frac{a}{a+(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})}=\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, khi \(a=b=c=\frac{2018}{3}.\)

Chọn D