Người ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình d...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(x\)là chiều rộng của đáy. Theo giả thiết ta thiếp lập được một hàm cho diện tích mặt xung quanh và mặt đáy là \(S\left( x \right)\) với biến \(x.\) Dùng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\left( x \right).\)Lấy giá trị nhỏ nhất này nhân với số tiền thuê để ra chi phí.

Giải chi tiết:

Gọi \(h\) là chiều cao của bể chứa. Đáy hồ có chiều rộng là x và chiều dài là 2x.

 Theo giả thiết ta có \(V=\frac{500}{3}=h.x.\left( 2x \right)=2{{x}^{2}}h\Rightarrow h=\frac{250}{3{{x}^{2}}}\,\,\left( 1 \right).\)

Do bể chứa không nắp nên chi phí thuê nhân công chính là chi phí thuê nhân công để xây dựng mặt đáy với các mặt xung quanh.

Diện tích mặt đáy là \(x.\left( 2x \right)=2{{x}^{2}}\,\,\left( {{m}^{2}} \right).\)

Có \(4\) mặt xung quanh với tổng diện tích là \(h.x+h.\left( 2x \right)+h.x+h\left( 2x \right)=6xh.\)

Do đó tổng diện tích mặt xung quanh với mặt đáy là \(S\left( x \right)=2{{x}^{2}}+6xh\,\,\left( 2 \right).\)

Để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta cần tìm cực trị của hàm \(S\left( x \right).\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta nhận được

\(S\left( x \right)=2{{x}^{2}}+6x.\frac{250}{3{{x}^{2}}}=2{{x}^{2}}+\frac{500}{x}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\left( 2{{x}^{2}};\frac{250}{x};\frac{250}{x} \right)\) ta  nhận được

\(S\left( x \right)=2{{x}^{2}}+\frac{250}{x}+\frac{250}{x}\ge 3\sqrt[3]{2{{x}^{2}}.\frac{250}{x}.\frac{250}{x}}=3\sqrt[3]{2.250.250}=150.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(2{{x}^{2}}=\frac{250}{x}\Leftrightarrow x=5.\) Khi đó chi phí thuê nhân công là \(150\times 100.000=15.000.000\) (đồng).

Chọn đáp án A.