Cho \(a,b,c\) là các số thực thuộc đoạn x\(\left[...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta sử dụng Bổ đề: Cho \(a\ge b\ge c\) là các số thực không âm và \(P\left( a,b,c \right)\) là hàm đối xứng theo các biến \(a,b,c.\) Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm sao cho \(f'\left( x \right)\) là một hàm lồi ( tức là \(f'''\left( x \right)>0\) ) thì hàm số

\(P\left( a,b,c \right)=f\left( a \right)+f\left( b \right)+f\left( c \right)\) đạt giá trị lớn nhất (nếu có) tại \(a\ge b=c.\) 

Giải chi tiết:

Ta sử dụng Bổ đề:

Cho \(a\ge b\ge c\) là các số thực không âm và \(P\left( a,b,c \right)\) là hàm đối xứng theo các biến \(a,b,c.\) Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm sao cho \(f'\left( x \right)\) là một hàm lồi ( tức là \(f'''\left( x \right)>0\) ) thì hàm số

\(P\left( a,b,c \right)=f\left( a \right)+f\left( b \right)+f\left( c \right)\) đạt giá trị lớn nhất (nếu có) tại \(a\ge b=c.\)

Áp dụng vào bài toán của chúng ta. Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x{{\log }_{2}}x,\,\,x\in \left[ 1,2 \right].\) Khi đó ta có \(h\left( x \right):=f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3{{\log }_{2}}x-\frac{3}{\ln 2}.\)  Ta tính được \(h'\left( x \right)=6x-\frac{3}{x{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}},\,\,h''\left( x \right)=6x+\frac{3}{{{x}^{2}}{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\in \left[ 1,2 \right].\)

Do đó hàm \(h\left( x \right)=f'\left( x \right)\) là hàm lồi. Ta lại có \(\begin{align}& P\left( a,b,c \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( {{\log }_{2}}{{a}^{a}}+{{\log }_{2}}{{b}^{b}}+{{\log }_{2}}{{c}^{c}} \right) \\& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( a{{\log }_{2}}a+b{{\log }_{2}}b+c{{\log }_{2}}c \right)=f\left( a \right)+f\left( b \right)+f\left( c \right) \\\end{align}\)

Áp dụng bổ đề trên ta suy ra \(P\left( a,b,c \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a\ge b=c.\) Khi đó

\(P\left( a,b,b \right)={{a}^{3}}+2{{b}^{3}}-3\left( a{{\log }_{2}}a+2b{{\log }_{2}}b \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Giả sử rằng \(a+2b=\alpha ,\,\,3\le \alpha \le 6.\) Khi đó \(a=\alpha -2b\) thay biểu thức này vào \(\left( 1 \right)\) ta được

\(P\left( a,b,b \right)={{\left( \alpha -2b \right)}^{3}}+2{{b}^{3}}-3\left[ \left( \alpha -2b \right){{\log }_{2}}\left( \alpha -2b \right)+b{{\log }_{2}}b \right].\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)={{\left( \alpha -2x \right)}^{3}}+2{{x}^{3}}-3\left[ \left( \alpha -2x \right){{\log }_{2}}\left( \alpha -2x \right)+b{{\log }_{2}}x \right],\,\,x\in \left[ 1,2 \right].\)

Ta có 

\(g'\left( x \right)=-6\left( 3{{x}^{2}}-4x\alpha +{{\alpha }^{2}} \right)+6{{\log }_{2}}\frac{\alpha -2x}{x},\,\,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x\alpha +{{\alpha }^{2}}={{\log }_{2}}\frac{\alpha -2x}{x}={{\log }_{2}}\left( \frac{\alpha }{x}-2 \right)\,\,\left( 2 \right).\)

Do \(\alpha \ge 3,\,\,x\in \left[ 1,2 \right]\) nên hàm số ở vế trái và vế phải của \(\left( 2 \right)\) đều là các hàm số nghịch biến.

Mặt khác ta lại có \(x=\alpha \) là một nghiệm của \(\left( 2 \right)\) do đó \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x=\alpha \)(trên \(\mathbb{R}\) )

Do \(x\in \left[ 1,2 \right],\,\,\alpha \ge 3\) nên phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm.

Ta lại có \(g'\left( 1 \right)=-6\left( 3-4\alpha +{{\alpha }^{2}} \right)+6{{\log }_{2}}\left( \alpha -2 \right).\) 

Đặt \(p\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x-3+{{\log }_{2}}\left( x-2 \right),\,\,3\le x\le 6.\)

Khi đó \(p'\left( x \right)=-2x+4+\frac{1}{\left( x-2 \right)\ln 2}=-\left[ \frac{2{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ln 2-1}{\left( x-2 \right)\ln 2} \right]<0,\,\,3\le x\le 6.\)

Do đó \(p\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left[ 3,6 \right].\)

Từ đó \(p\left( 6 \right)\le p\left( x \right)\le p\left( 3 \right)\Rightarrow p\left( x \right)\le 0\Rightarrow g'\left( 1 \right)\le 0.\)

Điều này kéo theo \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ 1,2 \right]\) do đó \(g\left( 2 \right)\le g\left( x \right)\le g\left( 1 \right).\) Vì vậy \(g\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x=1.\)

Khi đó \(b=c=1.\) Thay vào \(P\left( a,b,b \right)\) ta có

\(P\left( a,1,1 \right)={{a}^{3}}+2-3a{{\log }_{2}}a,\,\,a\in \left[ 1,2 \right].\) Ta có \(P\left( a,1,1 \right)=f\left( a \right)+2.\)

Theo tính toán ở trên ta có 

\(f''\left( x \right)=6x-\frac{3}{x{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}=\frac{6\left[ {{x}^{2}}-\frac{1}{2{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}} \right]}{x}>0,\,\,\forall x\in \left[ 1,2 \right].\)

Vậy \(f''\) là hàm đồng biến, suy ra \(f'\left( 1 \right)\le f'\left( x \right)\le f'\left( 2 \right)\Rightarrow 0<3-\frac{3}{\ln 2}\le f'\left( x \right).\)

Do đó \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left[ 1,2 \right].\)

Vậy \(f\left( x \right)\le f\left( 2 \right).\)

Kéo theo \(f\left( a \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a=2.\)

 Hay \(P\left( a,1,1 \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a=2.\) Khi đó \(a+b+c=4.\)   

Kiểm tra lại với \(a=2,b=c=1\) thỏa mãn điều kiện \(\log _{2}^{3}a+\log _{2}^{3}b+\log _{2}^{3}c=1.\)

Chọn đáp án C.