Cho x.y là số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + {...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi bất đẳng thức đã cho để đánh giá điều kiện \(x > 1\), từ đó đánh giá \(P \ge f\left( x \right)\) rồi xét hàm \(f\left( x \right)\) và tìm GTNN của \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết:

Đặt \(P = x + 2y\)

Ta có: \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right) \Leftrightarrow xy.2 \ge {x^2} + 2y\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2y\left( {x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 2y\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {x - 1}} \le 2y\) (do \(2y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2} > 0 \Rightarrow x - 1 > 0\))

\( \Rightarrow P = x + 2y \ge x + {{{x^2}} \over {x - 1}} = {{2{x^2} - x} \over {x - 1}}\) (*)

Xét hàm \(f\left( x \right) = {{2{x^2} - x} \over {x - 1}}\)  trên hai khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = {{2{x^2} - 4x + 1} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow f\left( {{{2 + \sqrt 2 } \over 2}} \right) = 3 + 2\sqrt 2  \hfill \cr   x = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \notin \left( {1; + \infty } \right) \hfill \cr}  \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta có: \(P \ge f\left( x \right) \ge 3 + 2\sqrt 2  \Rightarrow P \ge 3 + 2\sqrt 2 \)

Vậy GTNN của \(P\) là \(3 + 2\sqrt 2 \) khi \(x = {{2 + \sqrt 2 } \over 2},y = {{4 + 3\sqrt 2 } \over 4}\)

Chọn B.