Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và hai đường tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.

2) Chứng minh hai góc ở đáy của tam giác bằng nhau.

3) Áp dụng tính chất tam giác cân, đường trung tuyến và bất đẳng thức tam giác để chứng minh.

Giải chi tiết:

1) Xét \(\Delta BNC\) và \(\Delta CMB\) có:

\(\begin{array}{l}BN = AN = \frac{{AB}}{2};\,\\CM = AM = \frac{{AC}}{2};\\AB = AC\end{array}\)

\( \Rightarrow BN = CM\)

\(\angle B = \angle C\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

BC cạnh chung.

Do đó: \(\Delta BNC = \Delta CMB\left( {c.g.c} \right)\)

2) Chứng minh: \(\Delta KBC\) cân tại K.

Do \(\Delta BNC = \Delta CMB\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle MBC = \angle NCB\)(hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta KBC\) cân tại K.

3) Chứng minh \(BC < 4KM\)

Ta có: \(\Delta KBC\) cân tại K. (cmt)

\( \Rightarrow BK = CK\)

Ta có : \(BK + CK = BK + BK = 2BK = 2.2KM = 4KM\) (tính chất đường trung tuyến).

Mà \(\Delta KBC\) có : \(KB + KC > BC\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra \(BC < 4.KM\) (đpcm).