Cho tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) là tam giác đều cạ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Vì tam giác ABC đều nên \(AH \bot BC\) . Lại có: \(AD \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right)\)

Trong (ADH) kẻ \(HK \bot AD\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(BC \bot \left( {ADH} \right) \supset HK \Rightarrow HK \bot BC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của AD và BC

Ta có: \(BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot DH \Rightarrow DH = a = AD \Rightarrow \Delta DAH\) cân tại D

\( \Rightarrow DI \bot AH\,\,\,\left( 1 \right)\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)

Ta có: \({S_{\Delta ADH}} = \dfrac{1}{2}DI.AH = \dfrac{1}{2}HK.AD \Rightarrow HK = \dfrac{{DI.AH}}{{AD}}\)

Vì tam giác ABC đều nên \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Xét tam giác vuông ADI có: \(DI = \sqrt {A{D^2} - A{I^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}}  = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}\)

\( \Rightarrow HK = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{8}\)  

 Chọn D.