Chứng minh rằng \({S_{AHKB}} = {S_{ABC}} + {S_{ABD...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Kẻ \(II',CC',DD'\) lần lượt vuông góc với \(AB\) tại \(I',C',D'.\) Tính \(II'\) theo \(CC'\) và \(DD'\).      Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(AH,BK\) lần lượt tại \(E,F.\) Chứng minh\(\Delta IHE = \Delta IKF.\)      Chứng minh \({S_{AHKB}} = {S_{AEFB}} = AB.II'.\) Sử dụng các công thức tính diện tích.

Giải chi tiết:

Kẻ \(II',CC',DD'\) lần lượt vuông góc với \(AB\) tại \(I',C',D'.\)

Khi đó \(CC'\)//\(II'\)//\(DD'\), suy ra \(CC'D'D\) là hình thang.

Lại có \(I\)là trung điểm \(CD,\) dẫn đến \(I'\) là trung điểm \(C'D',\) vì thế \(II'\) là đường trung bình của hình thang \(CC'D'D,\) cho nên \(II' = \dfrac{{CC' + DD'}}{2}.\)

Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(AH,\,\,BK\) lần lượt tại \(E,\,\,F.\)

Khi đó, vì \(AE\)//\(BF\) và \(EF\)//\(AB\) nên \(AEFB\) là hình bình hành.

Xét \(\Delta IHE\) và \(\Delta IKF\), ta có:

\(\widehat {EHI} = \widehat {FKI} = {90^0},\)

\(\widehat {EIH} = \widehat {FIK}\) (2 góc đối đỉnh)

\(IH = IK\) (cmt).

Suy ra \(\Delta IHE = \Delta IKF\,\,\,\left( {g.c.g} \right)\).

Do đó diện tích hai tam giác này bằng nhau, dẫn đến \({S_{AHKB}} = {S_{AEFB}} = AB.II'.\) 

Như vậy:

\({S_{ABC}} + {S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}AB.CC' + \dfrac{1}{2}AB.DD' = AB.\dfrac{{CC' + DD'}}{2} = AB.II' = {S_{AHKB}}.\)