Với hai số \({2^{2019}}\) và \({5^{2019}}\) liên t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho \({a^p}\) và \({b^p}\) liên tiếp nhau thì thành một số có bao nhiêu chữ số?

Ta đi tìm \(m,\,\,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {ab} \right)^m} > {a^m} > {\left( {ab} \right)^{m - 1}}\\{\left( {ab} \right)^n} > {b^n} > {\left( {ab} \right)^{n - 1}}\end{array} \right..\)  Sau đó nhân các vế của các bất phương trình với nhau suy ra \(m + n?\)

Giải chi tiết:

Ta đi tìm \(m,\,\,n\): \(\left\{ \begin{array}{l}{10^m} > {2^{2019}} > {10^{m - 1}}\\{10^n} > {5^{2019}} > {10^{n - 1}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {10^m}{.10^n} > {2^{2019}}{.5^{2019}} > {10^{m - 1}}{.10^{n - 1}}\\ \Rightarrow {10^{m + n}} > {10^{2019}} > {10^{m + n - 2}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n > 2019\\2019 > m + n - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2019 < m + n < 2021\end{array}\)

Mà \(m + n \in \mathbb{Z} \Rightarrow m + n = 2020.\) Vậy số chữ số là 2020.