Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền BC =...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức côsi

Giải chi tiết:

Ta có \({S_{DHKE}} = \left( {DH + KE} \right).HK = \left( {BH + KC} \right).HK\).

Ta thấy \(BH + KC + HK = a\) (không đổi)

Nên tích \(\left( {BH + JC} \right).HK\)  lớn nhất khi và chỉ khi \(BH + CK = HK = \dfrac{a}{2}\).

Do đó \({S_{DHKE}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\).

Khi đó hình thang DEKH có đường cao \(HK = \dfrac{a}{2}\).

\( \Rightarrow KC = BC - BH - HK = a - \dfrac{a}{4} - \dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{4}\).

Do đó \(DH = HB = \dfrac{a}{4},\,\,EK = KC = \dfrac{a}{4}\).

Hình thang DEKH là hình chữ nhật, E là trung điểm của AC.