Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) nằm ngoài đư...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Kẻ OH vuông góc với (d) cắt MN tại E. Chứng minh H thuộc đường tròn đường kính OI và chứng minh H cố định.

- Chứng minh tam giác OEF đồng dạng tam giác OIH, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh OE không đổi, từ đó suy ra điểm cố định mà đường thẳng MN đi qua.

Giải chi tiết:

Kẻ OH vuông góc với (d) cắt MN tại E.

H cố định (vì O và MN cố định ) và H thuộc đường tròn đường kính OI (do \(\angle OHI = {90^0}\)).

Vậy đường tròn đường kính OI luôn đi qua điểm H cố định.

Gọi OI cắt MN tại F. Khi đó ta có OI là đường trung trực của MN.

Xét \(\Delta OEF\) và \(\Delta OIH\), có góc O chung, \(\angle OFE = \angle OHI = {90^0}\).

Nên \(\Delta OEF \sim \Delta OIH\,\,\left( {g.g} \right)\), do đó: \(\dfrac{{OF}}{{OE}} = \dfrac{{OH}}{{OI}} \Rightarrow OE.OH = OF.OI\).

Lại có \(\angle IMO = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OI) \( \Rightarrow \Delta OMI\) vuông tại M.

Xét \(\Delta OMI\) vuông tại M có đường cao ứng với cạnh huyền MF nên ta có: \(OF.OI = O{M^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow OE.OH = O{M^2} \Rightarrow OE = \dfrac{{O{M^2}}}{{OH}} = \) hằng số.

Mà O cố định nên suy ra E cố định.

Vậy MN luôn đi qua điểm E cố định.