Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để p...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Đánh giá.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành:

\(\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 1 - 2t + 2m = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 2 - 2m\).

Ta có: \( - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2  \Leftrightarrow  - \sqrt 2  - 1 \le t - 1 \le \sqrt 2  - 1 \Leftrightarrow 0 \le {\left( {t - 1} \right)^2} \le 3 - 2\sqrt 2 \).

Vậy để phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 \le 2 - 2m \le 3 - 2\sqrt 2  \Leftrightarrow  - 2 \le  - 2m \le 1 - 2\sqrt 2  \Leftrightarrow  - \dfrac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2} \le m \le 1\).

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên ta có \(m =1\).

Chọn A.