Cho hai số thực dương x, y thoả mãn \(2 +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đưa về cùng cơ số, sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,\,x,y > 0} \right)\).

+) Khi đó \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0\).

+) Đưa biểu thức P về dạng tam thức bậc hai ẩn t. Tìm GTNN của P

Giải chi tiết:

ĐK: \(x > 0;\,\,y > 0\).

Ta có: \(2 + 2{\log _2}x = \dfrac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}y \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4{x^2}} \right) = {\log _2}y \Leftrightarrow y = 4{x^2}\)

Khi đó, \(P = 10{x^2} - 2\left( {x + y} \right) - 3 = 10{x^2} - 2\left( {x + 4{x^2}} \right) - 3 = 2{x^2} - 2x - 3 = 2{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{7}{2} \ge  - \dfrac{7}{2}\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} =  - \dfrac{7}{2}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \,y = 4{x^2} = 1.\)

Chọn: C