Cho hai hình chữ nhật \(ABCD\) và \(ABEF\) không c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot AF\\AB \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {ADF} \right)\)

Trong (ABEF) kẻ \(AH \bot BF\), trong (AHC) kẻ \(KH \bot AC\)  ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AC \bot BF\\AH \bot BF\end{array} \right\} \Rightarrow BF \bot \left( {ACH} \right) \Rightarrow BF \bot KH\)

\( \Rightarrow HK\) là đường vuông góc chung của AC và BF\( \Rightarrow d\left( {AC;BF} \right) = HK\)

Áp dụng hệ tức lượng trong tam giác vuông ABF ta có: \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{F^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow A{H^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

\(A{B^2} = AK.AC \Rightarrow AK = \dfrac{{A{B^2}}}{{AC}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông \(AHK\)có: \(HK = \sqrt {A{H^2} - A{K^2}}  = \sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{3} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \(d\left( {AC;BF} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn C.