Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là tam giá...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’\( \Rightarrow GG'//AA' \Rightarrow GG' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow GG'\) là trục của mặt phẳng (A’B’C’)

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, B’C’, GA’

Trong (GA’N) kẻ \(IE \bot GA'\,\,\left( {I \in GG'} \right) \Rightarrow IE\) là trung trực của GA’\( \Rightarrow IG = IA'\)

\(I \in GG' \Rightarrow IA' = IB' = IC' \Rightarrow IG = IA' = IB' = IC'\)

\( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp G. A’BC’.

Vì tam giác A’B’C’ đều\( \Rightarrow A'N \bot B'C'\)

Lại có: \({\rm{AA}}' \bot B'C' \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'N} \right) \Rightarrow B'C' \bot AN\)

\(\left.  \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\\left( {AB'C'} \right) \supset AN \bot B'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset A'N \bot B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AN;A'N} \right)} = \widehat {{\rm{ANA'}}} = {60^0}\)

 Ta có:

\(\begin{array}{l}A'N = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AA' = A'N. tan60 = \dfrac{{3a}}{2} = GG'\\A'G' = \dfrac{2}{3}A'N = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = AG \Rightarrow A'G = \sqrt {A'G{'^2} + GG{'^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {93} }}{6}\end{array}\)

Chọn D.