Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \\ = 0 + \frac{1}{2}.2{a^2} - {a^2} - 0 = 0\\ \Rightarrow BM \bot AC\end{array}\)

 Xét tam giác vuông ABM có:

\(AI.BM = AB.AM \Rightarrow AI = \frac{{AB.AM}}{{BM}} = \frac{{AB.AM}}{{\sqrt {A{B^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông ABC ta có: \(BI.AC = AB.BC \Rightarrow BI = \frac{{AB.BC}}{{AC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Tam giác IAB vuông tại I nên \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}\)

Ta có: \(SN \cap \left( {ABCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\)

Vậy \({V_{N.AIB}} = \frac{1}{3}d\left( {N;\left( {AIB} \right)} \right).{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}\)

Chọn B.