Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Trong (ABCD) kẻ \(GH \bot BD\), trong (SGH) kẻ \(GK \bot SH\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BD \bot GH\\BD \bot SG\,\,\,\left( {SG \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SGH} \right) \Rightarrow BD \bot GK\)

\(\left. \begin{array}{l}GK \bot BD\\GK \bot SH\end{array} \right\} \Rightarrow GK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = GK\)

Ta có: \(B{C^2} + C{D^2} = 2{a^2} + 4{a^2} = 6{a^2} = B{D^2} \Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại C

Trong (ABCD) kẻ \(CE \bot BD \Rightarrow CE//GH\)

Xét tam giác vuông BCD có:

\(\frac{1}{{C{E^2}}} = \frac{1}{{C{B^2}}} + \frac{1}{{C{D^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow CE = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Theo định lý Ta-let ta có: \(\frac{{GH}}{{CE}} = \frac{{OG}}{{OC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GH = \frac{1}{3}CE = \frac{1}{3}.\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2a}}{{3\sqrt 3 }}\)

Ta có: \(SG \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SG \bot GH \Rightarrow \Delta SGH\)vuông tại G

\(\frac{1}{{G{K^2}}} = \frac{1}{{G{S^2}}} + \frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{4{a^2}}}{{27}}}} = \frac{7}{{{a^2}}} \Rightarrow GK = \frac{a}{{\sqrt 7 }}.\) 

Chọn B.