a) Cho đa thức: \(P(x)=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Do đa thức \(P\left( x \right)>0\) với mọi số thực x nên phương trình \(P\left( x \right)=0\) vô nghiệm.

Nếu a = 0 thì \(P\left( x \right)=0\) khi và chỉ khi bx + c = 0, có vô số nghiệm nếu (b, c) = (0; 0) hoặc có nghiệm: \(x=\frac{-c}{b};b\ne 0.\)

Do vậy xét a khác 0 ta được:

Vì P( x) = 0 vô nghiệm nên:

\(\begin{align} & \Delta ={{b}^{2}}-4ac<0\Rightarrow \frac{5a+b+3c}{a-b+c}>1\Leftrightarrow \frac{5a+b+3c}{a-b+c}-1>0 \\ & \Leftrightarrow \frac{4a-2b+2c}{a-b+c}>0\Leftrightarrow \frac{2a-b+c}{a-b+c}>0 \\ & (2a-b+c)(a-b+c)=a(a-b+c)+{{(a-b+c)}^{2}}>{{a}^{2}}-ba+\frac{{{b}^{2}}}{4}+{{(a-b+c)}^{2}} \\ & ={{(a-\frac{b}{2})}^{2}}+{{(a-b+c)}^{2}}\ge 0 \\ & \Rightarrow \frac{2a-b+c}{a-b+c}>0. \\ \end{align}\)

Từ đây ta có ngay điều phải chứng minh.

b) Dễ thấy với n = 0 thì A = 0 không phải là số chính phương.

Xét n khác 0.

TH1: p – 1 < 4 thì p = 2 hoặc p = 3.

Với p = 2 ta có: \(A={{n}^{4}}+4n.\)

Ta thấy ngay: \(\begin{align} & n=-2\to A=8 \\ & n=-1\to A=-3 \\ & n=1\to A=5 \\ & n=2\to A=24 \\ & n>2\Rightarrow 4n<2{{n}^{2}};{{({{n}^{2}})}^{2}}={{n}^{4}}<A={{n}^{4}}+4n<{{({{n}^{2}}+1)}^{2}}\to \\ \end{align}\)

A không phải là số chính phương.

\(n<-2\to -2{{n}^{2}}<4n\to -2{{n}^{2}}+1\le 4n,\)

Ta lại có: \(\begin{align} & -2{{n}^{2}}+1=4n\Leftrightarrow n=\frac{-2\pm \sqrt{6}}{2} \\ & \to -{{n}^{2}}+1<4n;{{({{n}^{2}}-1)}^{2}}<A={{n}^{4}}+4n<{{({{n}^{2}})}^{2}}. \\ \end{align}\)

Do đó A cũng không phải là 1 số chính phương.

Với p = 3 thì: \(A={{n}^{4}}+4{{n}^{2}};{{({{n}^{2}}+1)}^{2}}<A={{n}^{4}}+4{{n}^{2}}<{{({{n}^{2}}+2)}^{2}}.\)

Do đó A cũng không phải là số chính phương.

TH2: \(p-1\ge 4\Rightarrow p\ge 5.\)

Ta có: \(A={{n}^{4}}+4{{n}^{p-1}}={{n}^{4}}(1+4{{n}^{p-5}})\)

Để A là 1 số chính phương thì: \(\begin{align} & 1+4{{n}^{p-5}}={{m}^{2}}\to m=2k+1 \\ & \Rightarrow 1+4{{n}^{p-5}}={{m}^{2}}={{(2k+1)}^{2}}=4{{k}^{2}}+4k+1\to {{n}^{p-5}}=k(k+1). \\ \end{align}\)

Điều này là hoàn toàn vô lý vì k(k + 1) không thể biểu diễn thành lũy thừa của 1 số nguyên.

Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài.

Chọn A