Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy tích phân hai vế và đổi biến số đưa về cùng một tích phân

Giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\) \(=\int\limits_{1}^{4}{\left[ \frac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{x} \right]\text{d}x}\)\(=\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}\text{d}x}+\int\limits_{1}^{4}{\frac{\ln x}{x}\text{d}x}\).

Xét \(K=\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}\text{d}x}\). Đặt \(2\sqrt{x}-1=t\) \(\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{t+1}{2}\)\(\Rightarrow \frac{\text{d}x}{\sqrt{x}}=\text{d}t\)\(\Rightarrow K=\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)\text{d}t}\)\(=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

Xét \(M=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\ln x}{x}\text{d}x}\)\(=\int\limits_{1}^{4}{\ln x\text{d}\left( \ln x \right)}\)\(=\left. \frac{{{\ln }^{2}}x}{2} \right|_{1}^{4}=\)\(2{{\ln }^{2}}2\)

Do đó \(\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}+2{{\ln }^{2}}2\)\(\Rightarrow \int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=2{{\ln }^{2}}2\).

Chọn B