Cho tam giác ABC nhọn \(\left( AB<AC \right)\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh tứ giác ODCK nội tiếp.

+) Chứng minh \(OK\bot DK\Rightarrow OK\bot AB\).

+) Chứng minh F là trung điểm của AB.

+) \(\frac{{{S}_{\Delta BEF}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{BE.BF}{BC.BA}\)

Giải chi tiết:

Cách giải:

Vì DK // AB (gt) \(\Rightarrow \widehat{CKD}=\widehat{CAB}\) (đồng vị).

Ta có: \(\widehat{CAB}=\frac{1}{2}\widehat{COB}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC).

Mà \(\widehat{BOD}=\widehat{COD}=\frac{1}{2}\widehat{COB}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

\(\Rightarrow \widehat{CKD}=\widehat{COD}\Rightarrow \) Tứ giác ODCK  là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

\(\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{OKD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD). Mà \(\widehat{OCD}={{90}^{0}}\) (OC là tiếp tuyến).

\(\Rightarrow \widehat{OKD}={{90}^{0}}\Rightarrow OK\bot KD\).Mà \(KD//AB\Rightarrow OK\bot AB\) tại F.

\(\Rightarrow F\) là trung điểm của AB (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình của tam giác ABC.

\(\Rightarrow \frac{{{S}_{\Delta BEF}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{BE.BF}{BC.BA}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

Chọn B