Cho \((P):y={{x}^{2}}\) và \((d):y=3x-m\). Tìm m đ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm điều kiện của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Sử dụng định lý Vi – ét  biến đổi biểu thức đã cho theo \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\). Từ đó tìm m.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): \({{x}^{2}}=3x-m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+m=0(*)\)

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow (*)\)có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{3}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{9}{4}.\)

Áp dụng hệ thức Vi- et ta có : \(\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3\,\,\,\,\,\,\,(1)  \\   {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\\end{matrix} \right.\)

Ta có

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{x_{1}^{2}+1}+\sqrt{x_{2}^{2}+1}=3\sqrt{3} \\  & \Leftrightarrow x_{1}^{2}+1+x_{2}^{2}+1+2\sqrt{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}=27 \\  & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2+2\sqrt{{{({{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+1}=27 \\  & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\sqrt{{{({{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}=25\,\,\,(3) \\ \end{align}\) 

Thay (1) và (2) vào (3) ta có:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,{3^2} - 2m + 2\sqrt {{m^2} + 9 - 2m + 1} = 25\\
\Leftrightarrow 9 - 2m + 2\sqrt {{m^2} - 2m + 10} = 25\\
\Leftrightarrow 2\sqrt {{m^2} - 2m + 10} = 16 + 2m\\
\Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 2m + 10} = m + 8\,\,\,(**)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 8 \ge 0\\
{m^2} - 2m + 10 = {m^2} + 16m + 64
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - 8\\
m = - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\,
\end{array}\)

Thử lại \(m=-3\) thỏa mãn pt (**) và điều kiện \(m<\frac{9}{4}\).

Vậy \(m=-3\) là giá trị cần tìm.

Chọn B.