Cho (x;y;z) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Rút  y theo x  từ phương trình (1), rút x  theo z  từ phương trình (2) và rút  x theo z  từ phương trình (3) sau đó dùng bất đẳng thức Cô-si để đánh giá tìm ra   x = y = z

Giải chi tiết:

\(\left\{ \matrix{ 36{x^2}y - 60{x^2} + 25y = 0 \hfill \cr 36{y^2}z - 60{y^2} + 25z = 0 \hfill \cr  36{z^2}x - 60{z^2} + 25x = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{60{x^2}} \over {36{x^2} + 25}} \hfill \cr z = {{60{y^2}} \over {36{y^2} + 25}} \hfill \cr x = {{60{z^2}} \over {36{z^2} + 25}} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow x,y,z \ge 0\)

Nhận thấy x= y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ phương trình

Xét \(x > 0;y > 0;z > 0\) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm, ta có:

\(36{x^2} + 25 \ge 2\sqrt {36{x^2}.25}  = 60\left| x \right| \ge 60x \Rightarrow y \le x\)

Chứng minh tương tự, ta được \(z \le y;x \le z \Rightarrow x \le z \le y \le x \Rightarrow x = y = z\) 

Thay vào phương trình (1) ta được  \(36{x^3} - 60{x^2} + 25x = 0 \Leftrightarrow x = {5 \over 6}\) hay \(x = y = z = {5 \over 6}\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(A = x + y + z\)   (khi \(x = y = z = 0\))

Chọn A.