Cho \(P=\frac{{{x}^{4}}+1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \r...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ \({{x}^{2}}=a\) rồi biến đổi biểu thức thành phương trình bậc hai ẩn \(a\).

Tìm điều kiện phương trình có nghiệm để suy ra GTNN của \(P\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta đặt \(a={{x}^{2}}\) khi đó ta có

\(P=\frac{{{x}^{4}}+1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}+1}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}+1}{{{a}^{2}}+2a+1}\Leftrightarrow P\left( {{a}^{2}}+2a+1 \right)={{a}^{2}}+1\Leftrightarrow \left( P-1 \right){{a}^{2}}+2Pa+\left( P-1 \right)=0\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) đạt được GTNN thì phải tồn tại \(x\) hay \(\left( 1 \right)\) có nghiệm dương.

Trường hợp 1. Với \(P=1\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(2a=0\Leftrightarrow a=0.\)

Trường hợp 2. Khi \(P\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - P} \right)^2} - {\left( {P - 1} \right)^2} \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {P - \left( {P - 1} \right)} \right]\left[ {P + \left( {P - 1} \right)} \right] \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2P - 1 \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{2}.\end{array}\)

Với \(P=\frac{1}{2}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+a-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+1=0\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{1}{2}\) đạt được tại \(x=\pm 1.\)

Chọn đáp án B.