- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)  Người quan sát đứng tại vị trí đèn của Hải đăng nhìn xa tối đa trên mặt biển một đoạn tương ứng với MT.

MN tiếp xúc với đường tròn (O) tại T nên MN là tiếp tuyến đường tròn (O). Xét tam giác ATM và tam giác TAM, ta có:

Góc AMT chung.

Góc ATM = góc TBM (cùng chắn cung nhỏ AT).

 Chú thích:

+)  góc ATM = \(\frac{1}{2}\)sđ cung nhỏ AT (góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cung).

+)  góc TBM = \(\frac{1}{2}\)sđ cung nhỏ AT (góc nội tiếp có đỉnh nằm trên đường tròn).

\(\Rightarrow \Delta ATM\) đồng dạng \(\Delta TBM\)(g-g).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{TM}}{{BM}} = \frac{{AM}}{{TM}}\\ \Leftrightarrow T{M^2} = AM.BM\\ \Leftrightarrow T{M^2} = AM.\left( {AM + AB} \right)\\ \Leftrightarrow T{M^2} = AM.\left( {AM + 2R} \right)\end{array}\)

Thay số, ta có:

\(\begin{array}{l}T{M^2} = 0,065.\left( {0,065 + 2.6400} \right)\left( {AM = 65m = 0,065km} \right)\\ \Leftrightarrow TM \approx 29km\end{array}\)

Vậy:  Một người quan sát đứng tại vị trí đèn của Hải đăng nhìn xa tối đa khoảng 29km.

b)       NO cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D, với C nằm giữa 2 điểm N và O.

Cách một khoảng MN thì người quan sát đứng ở trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn của Hải Đăng. Chứng minh tương tự như trên, ta có:

\(\Rightarrow \Delta CTN\) đồng dạng \(\Delta TDN\) (g-g)

            \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{TN}}{{DN}} = \frac{{CN}}{{TN}}\\ \Leftrightarrow T{N^2} = CN.DN\\ \Leftrightarrow T{N^2} = CN.\left( {CN + CD} \right)\\ \Leftrightarrow T{N^2} = CN.\left( {CN + 2R} \right)\end{array}\)

Thay số, ta có:

\(\begin{array}{l}T{N^2} = 0,005.\left( {0,005 + 2.6400} \right)\left( {CN = 5m = 0,005km} \right)\\ \Leftrightarrow TN \approx 8km\end{array}\)

\(MN=MT+TN=29+8=37km\)

Vậy:  Cách khoảng 37km thì một người quan sát đứng ở trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn của Hải Đăng .