Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R.\) Từ \(A\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh \(AC + BD = CD\).

Chứng minh \(CD \ge AB \Rightarrow CD\min \) khi \(CD = AB\).

Giải chi tiết:

Do \(CM,\,DM\) là các tiếp tuyến nên ta có \(MD = BD,\,\,CM = CA.\)

Từ đó \(CA + BD = CM + MD = CD.\)

Từ \(C\) hạ đường cao \(CH\) xuống \(BD.\)

Khi đó \(\Delta HCD\) vuông tại \(H,\) có \(CD\) là cạnh huyền và \(CH\) là cạnh góc vuông nên \(CD \ge CH.\) Mặt khác \(CH//BA\) và \(CA \bot CH,\,\,BH \bot CH\) nên \(CHBA\) là hình chữ nhật.

Do đó \(CH = BA.\)  Vì vậy \(CD \ge AB.\)

Do đó \(CA + BD\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(CA + BD = AB \Leftrightarrow CD = AB \Leftrightarrow CD = CH \Leftrightarrow CD//AB.\) Khi đó ta có \(ABDC\) là hình chữ nhật và do đó \(AC = BD.\) Mặt khác \(O\) là trung điểm \(AB\) nên \(M\) là trung điểm \(CD.\) Kéo theo \(CA = CM = MD = BD = R.\)

Chọn đáp án D.