Biết \(I = \int\limits_0^3 {\left| {\dfrac{{{x^2}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.

Giải chi tiết:

Vì \(x \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow x + 1 > 0\) nên \(I = \int\limits_0^3 {\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^3 {\dfrac{{\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Xét dấu hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) trên \(\left[ {0;3} \right],\) ta được

Khi đó \(\int\limits_0^3 {\dfrac{{\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  + \int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Xét nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  = \int {\left( {x - 4 + \dfrac{6}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left| {x + 1} \right| + C.\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_0^1 = 6\ln 2 - \dfrac{7}{2}.\)

\( \bullet \,\,\, - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  =  - \,\left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_1^2 =  - \,\left( {6\ln 3 - 6 - 6\ln 2 + \dfrac{7}{2}} \right) =  - \,6\ln 3 + 6\ln 2 + \dfrac{5}{2}.\)

\( \bullet \,\,\,\int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_2^3 = 6\ln 4 - \dfrac{{15}}{2} - \left( {6\ln 3 - 6} \right) = 6\ln 4 - 6\ln 3 - \dfrac{3}{2}.\)

Vậy \(I = 6\ln 2 - \dfrac{7}{2} - \,6\ln 3 + 6\ln 2 + \dfrac{5}{2} + 6\ln 4 - 6\ln 3 - \dfrac{3}{2} =  - \dfrac{5}{2} + 24\ln 2 - 12\ln 3.\)

Mặt khác \(I = a + b.\ln 2 + c.\ln 3 = - \frac{5}{2} + 24\ln 2 - 12\ln 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{2}\\b = 24\\c = - 12\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = \frac{{19}}{2}.\)

Chọn D