Phương trình \(\sqrt{x-512}+\sqrt{1024-x}=16+4\sq...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt[8]{\left( x-512 \right)\left( 1024-x \right)}\ge 0\) ta có

\({{t}^{4}}=\sqrt{\left( x-512 \right)\left( 1024-x \right)}\le \frac{x-512+1024-x}{2}=256\Rightarrow 0\le t\le 4\)

Với t = 4 thì ta tìm được 1 giá trị của x = 768

Với 0 ≤ t < 4 thì ta tìm được 2 giá trị của x (Khi đó phương trình của Định lý Viét đảo có 2 nghiệm phân biệt)

Bình phương 2 vế phương trình đã cho, ta được

\(\begin{align}  & x-512+1024-x+2{{t}^{4}}=256+128t+16{{t}^{2}} \\  & \Leftrightarrow {{t}^{4}}-8{{t}^{2}}-64t+128=0 \\ & \Leftrightarrow \left( t-4 \right)\left( {{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+8t-32 \right)=0 \\ \end{align}\)

Từ t = 4 ta có 1 nghiệm x = 768

Ta thấy phương trình \({{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+8t-32=0\) có nghiệm duy nhất \(t={{t}_{0}}\approx 1,76\) (sử dụng máy tính). Từ đó ta có 2 nghiệm x thỏa mãn

Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Chọn D