Tính \(\lim \,n\left( \sqrt{4{{n}^{2}}+3}-\sqrt[3]...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp tính giới hạn (nhân liên hợp) của dạng vô định \(\infty \,\,-\,\,\infty \)

Giải chi tiết:

Ta có \(\sqrt{4{{n}^{2}}+3}-\sqrt[3]{8{{n}^{3}}+n}=\sqrt{4{{n}^{2}}+3}-2n+2n-\sqrt[3]{8{{n}^{3}}+n}\).

\(=\frac{3}{\sqrt{4{{n}^{2}}+3}+2n}\frac{n}{4{{n}^{2}}+2n\sqrt[3]{8{{n}^{3}}n}+\sqrt[3]{{{\left( 8{{n}^{3}}+n \right)}^{2}}}}.\)

Khi đó \(\lim \,n\left( \sqrt{4{{n}^{2}}+3}-\sqrt[3]{8{{n}^{3}}+n} \right)=\lim \frac{3n}{\sqrt{4{{n}^{2}}+3}+2n}-\lim \frac{{{n}^{2}}}{4{{n}^{2}}+2n\sqrt[3]{8{{n}^{3}}+n}+\sqrt[3]{{{\left( 8{{n}^{3}}+n \right)}^{2}}}}\)

\(=\lim \frac{3}{\sqrt{4+\frac{3}{{{n}^{2}}}}+2}-\lim \frac{1}{4+2\sqrt[3]{8+\frac{1}{{{n}^{2}}}}+\sqrt[3]{{{\left( 8+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}^{2}}}}=\frac{3}{2+2}-\frac{1}{4+2.2+{{2}^{2}}}=\frac{2}{3}.\)

Chọn C.