Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

+) Từ tứ giác nội tiếp ta chứng minh các góc cùng nhìn 1 đoạn thẳng thì bằng nhau. Qua đó ta chứng minh các tam giác đồng dạng và suy ra tỉ lệ mà đề bài cần chứng minh.

+) Dựa vào định lý Ta-let và các yếu tố bài cho để chứng minh các cạnh song song.

Giải chi tiết:

a)     Xét tứ giác AOHC có\(\widehat{CAO}=\widehat{CHO}={{90}^{0}}\) nên tứ giác AHOC nội tiếp đường tròn đường kính OC.

b)     Xét tam giác ACD và ECA có \(\widehat{ACE}\) chung, \(\widehat{CAD}=\widehat{AEC}\) (cùng chắn cung AD)

\(\Rightarrow \Delta ACD\sim \Delta ECA\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{CE}{AE}\Rightarrow AC.AE=AD.CE\)

     c) Qua E kẻ đường thẳng song song với OC cắt BA, BD lần lượt tại I và F. Ta có \(\widehat{IEH}=\widehat{HCO}\)  (hai góc so le trong) mà tứ giác AOHC nội tiếp nên ta có \(\widehat{HCO}=\widehat{HAO}\Rightarrow \widehat{IEH}=\widehat{HAO}\Rightarrow \)  HAEI nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{IHE}\)  mà\(\widehat{IAE}=\widehat{BDE}\)  , suy ra  \(\widehat{IHE}=\widehat{BDE}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên suy ra IH // DF

Xét tam giác EFD có IH // DF và H là trung điểm của DE nên IH là đường trung bình của tam giác EDF, suy ra I là trung điểm của EF.

Áp dụng định lý Talet cho các tam giác BOM và BON ta có \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\frac{IF}{OM}=\frac{BI}{BO} & {}  \\\frac{IE}{ON}=\frac{BI}{BO} & {}  \\\end{array} \right.\)

Suy ra \(\frac{IE}{ON}=\frac{IF}{OM}\)  mà IE=IF nên OM=ON

Xét tứ giác AMBN có OA=OM và OM=ON nên AMBN là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Vậy AM // BN (đpcm).