Trong không gian với hệ tọa độ \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bài toán có thể giải bằng 2 cách, đại số hoặc hình học bằng cách gọi tọa độ hoặc xét hình chiếu

Giải chi tiết:

Cách 1. Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right),$ vì $I\in \left( S \right)$$\Rightarrow I\left( a;a+2;c \right).$

Ta có $R=IA=IB\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}={{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}\Leftrightarrow c=2-2a.$

Khi đó $R=IA=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}-10a+17}=\sqrt{6{{\left( x-\frac{5}{6} \right)}^{2}}+\frac{77}{6}}\ge \frac{\sqrt{462}}{6}.$

Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ là ${{R}_{\min }}=\frac{\sqrt{462}}{6}.$

Cách 2. Tham khảo hình vẽ bên.

Ta có I thuộc giao tuyến mặt phẳng trung trực AB và $\left( P \right)$$\Rightarrow IM\ge MH.$

$\Rightarrow R\ge HA\Rightarrow {{R}_{\min }}=HA$ với H là hình chiếu của M trên giao tuyến $\Rightarrow$ ${{R}_{\min }}=\frac{\sqrt{462}}{6}.$

Chọn A