Trong không gian với hệ tọa độ \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bài toán có thể giải bằng 2 cách, đại số hoặc hình học bằng cách gọi tọa độ hoặc xét hình chiếu

Giải chi tiết:

Cách 1. Gọi \(I\left( a;b;c \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right),\) vì \(I\in \left( S \right)\)\(\Rightarrow I\left( a;a+2;c \right).\)

Ta có \(R=IA=IB\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}={{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}\Leftrightarrow c=2-2a.\)

Khi đó \(R=IA=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}-10a+17}=\sqrt{6{{\left( x-\frac{5}{6} \right)}^{2}}+\frac{77}{6}}\ge \frac{\sqrt{462}}{6}.\)

Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({{R}_{\min }}=\frac{\sqrt{462}}{6}.\)

Cách 2. Tham khảo hình vẽ bên.

Ta có I thuộc giao tuyến mặt phẳng trung trực AB và \(\left( P \right)\)\(\Rightarrow IM\ge MH.\)

\(\Rightarrow R\ge HA\Rightarrow {{R}_{\min }}=HA\) với H là hình chiếu của M trên giao tuyến \(\Rightarrow \) \({{R}_{\min }}=\frac{\sqrt{462}}{6}.\)

Chọn A