Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {x^4} +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức đã cho về dạng tổng của các bình phương sau đó lí luận để tìm GTNN.

Giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}P = {x^4} + {x^2} - 6x + 9\\\,\,\,\,\, = \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) + \left( {3{x^2} - 6x + 3} \right) + 5\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 5\end{array}\).

Vì \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} \ge 0\) và \(3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên suy ra \(P \ge 5\) với mọi \(x\).

Dấu “=”  xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 0\\3{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) đã cho là \(5\), đạt được khi \(x = 1\).