Tìm giá trị của m để phương trình \({x^4}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {x^2}\) quy về phương trình bậc 2 .

Giải chi tiết:

Ta có phương trình \({x^4} - 2\left( {m - 3} \right){x^2} + 3m + 9 = 0\)  (1)

Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 2\left( {m - 3} \right)t + 3m + 9 = 0\)  (2)

Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) xảy ra các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: PT (2) có nghiệm kép \({t_1} = {t_2} = 0\)

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' = {{\left( {m - 3} \right)}^2} - 1\left( {3m + 9} \right) = 0}\\{m - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = 9}\end{array}} \right.}\\{m = 3}\end{array}} \right.\)  (vô lí)

* Trường hợp 2: PT (2) có \({t_1} = 0\) và \({t_2} < 0\).

Với \({t_1} = 0\) thay vào (2), ta được: \(3m + 9 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\)

Thay \(m =  - 3\) trở lại PT (2), ta thấy: \({t^2} - 2\left( { - 3 - 3} \right)t + 3\left( { - 3} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 12t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t =  - 12}\end{array}} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m =  - 3\) để phương trình thỏa mãn điều kiện bài toán.