Phương trình  \(\sin 2x - \cos 2x - \cos x - \sin...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dùng công thức nhân đôi với \(\sin 2x,\,\,\cos 2x\); nhóm nhân tử: \((2\sin x\cos x - \sin x) - \left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 1} \right) = 0\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow (2\sin x\cos x - \sin x) - \left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x(2\cos x - 1) - (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (2\cos x - 1)(\sin x - \cos x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + m2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{4} + n2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \\x = \pi  + n2\pi \end{array} \right.\left( {k,\;l,\;m,\;n \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\pi } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3} \Leftrightarrow k = 0\\0 <  - \frac{\pi }{3} + l2\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{1}{6} < l < \frac{2}{3} \Leftrightarrow l \in \emptyset \\0 < \frac{\pi }{2} + m2\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < m < \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0\\0 < \pi  + n2\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < m < 0 \Leftrightarrow n \in \emptyset \end{array} \right.\)

Vậy có 2 nghiệm thõa mãn bài toán.